Question

4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，且2b=a+c
（1）求∠A的正弦值；
（2）当b=20时，求c的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，可得关于a、c的方程，根据解方程，可得a、c的关系，根据正弦函数的定义，可得答案
（2）根据a=$\frac{3}{5}$c，可得关于c的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由题意，得
b=$\frac{1}{2}$（a+c）．
∵a²+b²=c²，
∴a²+$\frac{1}{4}$（a+c）²=c²，
（a+c）（a-c）+$\frac{1}{4}$（a+c）²=0，
（a+c）（$\frac{5}{4}$a-$\frac{3}{4}$c）=0，
∵a+c≠0，
∴a=$\frac{3}{5}$c，
sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$；
（2）当b=20时，a+c=40，
∵a=$\frac{3}{5}$c，
∴$\frac{3}{5}$c+c=40，
解得c=25．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，利用勾股定理得出a=$\frac{3}{5}$c是解题关键．