Question

5．已知：AB，PQ是圆O的两条直径，连接PB，AQ．
（1）如图①，求证：AQ∥BP，AG∥BP；
（2）如图②，过点B作BC⊥PQ于点D，交圆O于点C，在DG上取一点K，使DK=DP，求证：四边形AQKC是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由同弧所对的圆周角相等得出∠P=∠A，由OA=OQ得出∠A=∠Q，那么∠P=∠Q，AQ∥PB．根据∠AOQ=∠BOP，得到$\widehat{AQ}$=$\widehat{BP}$，那么AQ=BP；
（2）先由垂径定理得出BD=CD，又PD=DK，得出四边形BKCP为菱形，根据菱形的性质得出PB∥CK，再证明CK∥AQ，且CK=AQ，那么四边形AQKC为平行四边形．

解答 证明：（1）∵$\widehat{BQ}$=$\widehat{BQ}$，
∴∠P=∠A，
∵OA=OQ，
∴∠A=∠Q，
∴∠P=∠Q，
∴AQ∥PB．
∵∠AOQ=∠BOP，
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{BP}$，
∴AQ=BP；

（2）∵PQ⊥BC，
∴BD=CD，
又∵PD=DK，
∴BC与PK互相垂直且平分，
∴四边形BKCP为菱形；
∴PB∥CK，且PB=CK，
∵PB∥AQ，
∴CK∥AQ，
∵PB=AQ，
∴CK=AQ，
∵CK∥AQ，且CK=AQ，
∴四边形AQKC为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，圆周角定理，关键是得出四边形BKCP为菱形，难度适中．