Question

11．设方程x²+x-1=0的两根是x₁，x₂，求4x₁⁵+10x₂³的值．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x₁与x₂的两根之积与两根之和的值，代入所求的代数式即可得到结果．

解答 解：x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
4x₁⁵+10x₂³
=4×（${x}_{1}^{2}$×${x}_{1}^{2}$×x₁）+10×（${x}_{2}^{2}$×x₂）
=4×$（1{-x}_{1}）^{2}$×x₁+10×（1-x₂）×x₂
=$4（{x}_{1}^{2}-{2x}_{1}+1）{×x}_{1}+10{（x}_{2}{+x}_{2}-1）$
=4（1-x₁-2x₁+1）×x₁+10（2x₂-1）
=4（2-3x₁）×x₁+10（2x₂-1）
=4（2x₁+3x₁-3）+10（2x₂-1）
=20x₁-12+20x₂-10
=20（x₁+x₂）-22
=-20-22
=-42．

点评 此题考查了根与系数的关系，常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x₁²+x₂²等等．