Question

1．如图，△ABC中，D，E是△ABC外两点，M是△ABC内一点．若AE=BE，AD=DC，∠DEM=$\frac{1}{2}$∠AEB，∠EDM=$\frac{1}{2}$∠ADC．求证：MB=MC．

Answer 1

分析 作点B关于CE的对称点F，连接EF，MF，DF，由折叠的性质可知△BEM≌△FEM，得到EF=BE=EA，∠FED=∠AED，继而证明△AED≌△FED，得到DF=DA=DC，∠ADE=∠FDE，然后易证∠MDF=∠CDM，进而证明△FDM≌△CDM，得到MC=MF=MB．

解答 证明：作点B关于CE的对称点F，连接EF，MF，DF
∴△BEM≌△FEM，
∴MB=MF，EF=BE=EA，∠BEM=∠FEM
∴∠FED=∠DEM-∠FEM=$\frac{1}{2}$∠AEB-∠FEM
∵∠AED=∠AEB-∠DEM-∠BEM=$\frac{1}{2}$∠AEB-∠BEM
∴∠FED=∠AED
在△AED和△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=FE}\\{∠FED=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FED，
∴DF=DA=DC，∠ADE=∠FDE
同理得：∠MDF=$\frac{1}{2}$∠ADC-∠FDE=∠ADC-∠EDM-∠ADE=∠CDM，
在△FDM和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠MDF=∠CDM}\\{MD=MD}\end{array}\right.$，
∴△FDM≌△CDM，
∴MC=MF=MB．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过辅助线构造全等是解决问题的关键．