Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则点P与点M之间的距离为

 

，∠APB=

 

°．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：连结MP，根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AM=AP，∠MAP=∠BAC=60°，BM=CP=10，则可判断△AMP为等边三角形，
所以MP=AP=6，∠APM=60°，在△PBM中通过计算得到PM²+PB²=BM²，根据勾股定理的逆定理得∠BPM=90°，然后利用∠APB=∠APM+BPM进行计算．

解答：解：连结MP，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，
∴AM=AP，∠MAP=∠BAC=60°，BM=CP=10，
∴△AMP为等边三角形，
∴MP=AP=6，∠APM=60°，
在△PBM中，PM=6，BM=10，PB=8，
∵6²+8²=10²，
∴PM²+PB²=BM²，
∴∠BPM=90°，
∴∠APB=∠APM+BPM=60°+90°=150°．
故答案为6，150．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．