Question

一个工人师傅要将一个正方形ABCD（四个角都是直角，四个边都相等）的余料，修剪成如四边形ABEF的零件．其中CE=

1

4

BC，F是CD的中点．求证：AF平分∠DAE．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：证明题

分析：根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ADF和△FCE相似，根据相似三角形对应边成比例求出

CF

AD

=

EF

AF

=

1

2

，再求出

DF

AD

=

1

2

，从而得到

DF

AD

=

EF

AF

，然后判断出△ADF和△AFE相似，根据相似三角形对应角相等可得∠DAF=∠FAE，再根据角平分线的定义证明即可．

解答：证明：∵F是CD的中点，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∵CE=

1

4

BC，
∴CE=

1

2

CD，
∴

CE

DF

=

CF

AD

=

1

2

，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ADF∽△FCE，
∴

CF

AD

=

EF

AF

=

1

2

，∠DAF=∠CFE，
∵∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°，
∵

DF

AD

=

1

2

，
∴

DF

AD

=

EF

AF

，
又∵∠D=∠AFE=90°，
∴△ADF∽△AFE，
∴∠DAF=∠FAE，
∴AF平分∠DAE．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，难点在于求出△ADF和△AFE相似．