Question

12．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，求证：DE+DF=CG．

Answer 1

分析 作DM⊥CG于M，则∠DMG=∠DMC=90°，先证明四边形DMGE是矩形，得出DE=MG，DM∥AB，证出∠MDC=∠DCF，由AAS证明△DMC≌△CFD，得出MC=DF，即可得出结论．

解答 证明：作DM⊥CG于M，如图所示：
则∠DMG=∠DMC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠DEG=∠MGE=∠CFD=90°，
∴四边形DMGE是矩形，
∴DE=MG，DM∥AB，
∴∠MDC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠DCF，
∴∠MDC=∠DCF，
在△DMC和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMC=∠CFD}&{\;}\\{∠MDC=∠DCF}&{\;}\\{DC=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△CFD（AAS），
∴MC=DF，
∵MG+MC=CG，
∴DE+DF=CG．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．