题目内容
2．在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）如图1，图中所有的等腰三角形有4个．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图2，AB≠AC，图中等腰三角形是△EOB、△FOC，（1）中的EF与BE、CF之间的关系还存在吗？
（3）如图3，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE、CF关系，并说明理由．
分析 （1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
解答 
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共四个；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．
理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，
即EO=EB，FO=FC，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
故答案为：4；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，
即EO=EB，FO=FC，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
故答案为：△EOB、△FOC；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
点评 此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
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