Question

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为腰长在第二象限内作等腰直角△ABC（其中∠CAB=90°）．
①求AB的长；
②求点C的坐标；
③你能否在x轴上找一点M，使△MCB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，再利用勾股定理可求得AB的长；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，则可证得△ADC≌△BOA，可求得CD和OD的长，则可求得点C的坐标；
（3）找B点关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点M，由轴对称的性质可知点M即为满足条件的点，由B′、C的坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得M点坐标．

解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{2}$x+1中，令y=0可得$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，
令x=0可得y=1，
∴A（-2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（2）过C作CD⊥x轴于点D，如图1，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△ACD和△BOA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠AOB}\\{∠CAD=∠ABO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BOA（AAS），
∴CD=AO=2，DA=BO=1，
∴OD=OA+AD=2+1=3，
∴C（-3，2）；
（3）如图2，B关于x轴的对称点为B′，连接B′C交x轴于点M，

则BM=B′M，
∵C、M、B′在一条线上，
∴CM+BM最小，即△MCB的周长最小，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
设直线B′C解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线B′C的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-2，
令y=0，可得-$\frac{4}{3}$x-2=0，解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴存在满足条件的点M，其坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质及全等三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，较易得分．