Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D在AB上且AD=4，DE∥BC交AC于E，点P从点D出发沿射线DE运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥AB交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，RQ=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当x怎样时，以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE只有一个交点．

Answer 1

分析 （1）首先在Rt△ABC中，根据勾股定理，求出BC边的长度是多少；然后根据QR∥AB，可得$\frac{RQ}{AB}=\frac{CQ}{CB}$，据此求出y关于x的函数关系式即可．
（2）根据题意，分三种情况：①当PQ=PR时；②当PR=QR时；③当PQ=RQ时；然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，求出所有满足要求的x的值即可．
（3）根据题意，分三种情况：①当PQ=PR时；②当点Q与点C重合时；③以Q为圆心，RP长为半径的圆与DE所在的直线有2个交点，但是它与射线DE只有一个交点时，分类讨论，求出所有满足要求的x的值即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}=10$，
∵QR∥AB，
∴$\frac{RQ}{AB}=\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{y}{6}=\frac{10-x}{10}$，
∴$y=6-\frac{3}{5}x$．

（2）①如图1，当PQ=PR时，作PF⊥RQ于F，作DG⊥BC于G，
，
在△BGD和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠B}\\{∠BGD=∠BAC}\end{array}\right.$，
∴△BGD∽△BAC，
∴$\frac{GD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{6-4}{10}=\frac{1}{5}$，
∴GD=$\frac{1}{5}×8=\frac{8}{5}$，
∵PQ=PR，PF⊥RQ，
∴RF=FQ，
∵∠C+∠CQR=∠FQP+∠CQR，
∴∠FQP=∠C，
∴cos∠FQP=cos∠C=$\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{FQ}{PQ}=\frac{FQ}{GD}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}×（6-\frac{3}{5}x）}{\frac{8}{5}}=\frac{4}{5}$，
解得x=$\frac{86}{15}$．
②如图2，当PR=QR时，作EM⊥BC于M，作RN⊥EM于N，
，
∵PQ⊥BC，EM⊥BC，
∴PQ∥EM，
∵PR=QR，RN⊥EM，
∴EN=MN，
∵RN∥BC，
∴$\frac{ER}{CR}=\frac{EN}{MN}=1$，
∴ER=CR，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{DB}=\frac{4}{2}=2$，
∴AE=2CE，AE+CE=8，
∴CE=$\frac{8}{3}$，CR=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
∴tan∠C=$\frac{RQ}{CR}=\frac{6-\frac{3}{5}x}{\frac{4}{3}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
解得x=$\frac{25}{3}$．
③当PQ=RQ时，
6-$\frac{3}{5}x=\frac{8}{5}$，
解得x=$\frac{22}{3}$．
综上，可得
$x=\frac{86}{15}$，x=$\frac{25}{3}$或x=$\frac{22}{3}$时，△PQR为等腰三角形．

（3）①当PQ=PR时，
以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE相切，只有一个交点，
由（2），可得x=$\frac{86}{15}$，
∴当x=$\frac{86}{15}$时，以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE只有一个交点．
②如图3，当点Q与点C重合时，点R也与点C重合，
，
以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE相切，只有一个交点，
此时x=BC=10，
∴当x=10时，以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE只有一个交点．
③如图4，
，
以Q为圆心，RP长为半径的圆与DE所在的直线有2个交点，但是它与射线DE只有一个交点时，
10x²+51x-300=0，
∴当$\frac{6}{5}$≤x≤$\frac{{-51+\sqrt{14601}}}{20}$时，以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE只有一个交点．
综上，可得$x=\frac{86}{15}$，x=10或$\frac{6}{5}$≤x≤$\frac{{-51+\sqrt{14601}}}{20}$时，以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE只有一个交点．

点评 （1）此题主要考查了圆的综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合的方法，要熟练掌握，
（2）此题还考查了直角三角形、等腰三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握．