Question

【题目】已知，在平面直角坐标系中，、，m、n满足．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．

（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为　 　．

（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．

（3）设AB＝5,若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）AB＝2PE；（2）成立，理由见解析；（3）点D．

【解析】

（1）根据非负数的性质分别求出m、n，证明△POC≌△DPE，可得出OC＝PE，由AB＝2OC，则结论得出；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，证明△POC≌△DPE，根据全等三角形的性质得到OC＝PE，可得到答案；

（3）证明△POB≌△DPA，得到PA＝OB＝5，DA＝PB，根据坐标与图形性质解答即可．

解：（1）∵(m﹣n)2+|m﹣5|＝0，

∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，

∴m＝n＝5，

∴A(5，0)、B(0，5)，

∴AC＝BC＝5，

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵D是x轴正半轴上一点，

∴点P在BC上，

∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

,在此处键入公式。

∴△POC≌△DPE(AAS)，

∴OC＝PE，

∵C为AB的中点，

∴AB＝2OC，

∴AB＝2PE．

故答案为：AB＝2PE．

（2）成立，理由如下：

∵点C为AB中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE(AAS)，

∴OC＝PE，

又∠AOC＝∠BAO＝45°

∴OC＝AC＝AB

∴AB＝2PE；

（3）∵AB＝5，

∴OA＝OB＝5，

∵OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，

∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，

∴∠APD＝∠BOP，

在△POB和△DPA中，

，

∴△POB≌△DPA(SAS)，

∴PA＝OB＝5，DA＝PB，

∴DA＝PB＝5﹣5，

∴OD＝OA﹣DA＝5﹣(5﹣5)＝10﹣5，

∴点D的坐标为．