Question

19．如图，抛物线y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3与x轴交于A、B两点，点D为第三象限的抛物线上一动点．若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，且S_?ODAE=6，请判断?ODAE是否为菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如图，过点D作DH⊥x轴于点H，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形．

解答 解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵S_?ODAE=6，OA=4，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OA•DH=3，
∴DH=$\frac{3}{2}$．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3=-$\frac{3}{2}$，
解得：x₁=-2，x₂=-3．
∴点D坐标为（-2，-$\frac{3}{2}$）或（-3，-$\frac{3}{2}$）．
当点D为（-2，-$\frac{3}{2}$）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（-3，-$\frac{3}{2}$）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．

点评 本题综合考查了二次函数、平行四边形、菱形等知识点．涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．