Question

【题目】某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．

乙同学：我发现边数是时，它也不一定是正多边形，如图，是正三角形，，证明六边形的各内角相等，但它未必是正六边形．

丙同学：我能证明，边数是时，它是正多边形，我想…，边数是时，它可能也是正多边形．

请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；

请你证明，各内角都相等的圆内接七边形（如图）是正七边形；（不必写已知，求证）

根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）

Answer 1

【答案】图中六边形各角相等；见解析；猜想：当边数是奇数时（或当边数是，，，，时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形．

【解析】

(1)利用等弧对等角证各角相等.(2)利用等弧对等弦证各边相等.(3)根据(1)(2)猜想当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

(1)证明：由图知∠AFC对.
因为，∠DAF对的，
所以∠AFC=∠DAF.
因为，，
所以.
∠ECF对的，
所以∠AFC=∠ECF.
同理可证∠ADB=∠DBE=∠BEC=∠ECF.
所以图(1)中六边形各角相等.
(2)证明：因为∠A对，∠B对，∠A=∠B，
所以.
所以.
同理.
所以AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA.
所以，七边形ABCDEFG是正七边形.
(3)根据(1)(2)可以猜想：当边数是奇数时(或当边数为3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.