Question

【题目】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒2cm，设运动时间为t秒，当t＝_____时，点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形．

Answer 1

【答案】4或或或或3或．

【解析】

分点P在边AC和边AB上讨论: 当点P在边AC上时和当点P在边AB上时，进行计算即可得到答案．

∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝＝＝5，

当点P在边AC上时，当PA＝PB时，如图1，

作AB边上的高PE，则AE＝BE＝，

易证得△APE∽△ABC，

∴，即，

∴AP＝，

此时（4﹣）÷2＝（秒）；

当CP＝CB时，

∵CP＝3cm，此时t＝3÷2＝（秒）；

当点P在边AB上时，

当AC＝AP，此时（4+4）÷2＝4（秒）；

当AP＝PC时，如图2，

∴点P在AC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，

则AP＝AB＝，此时（4+2.5）÷2＝（秒）

当CP＝CB时，如图3，

作AB边上的高CD，

∵AC×BC＝AB×CD．

∴CD＝＝，

在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝1.8，

∴BP＝2DP＝3.6，

∴AP＝1.4，

∴t＝（AC+AP）÷2＝（4+1.4）÷2＝（秒）

当BC＝BP时，

∴BP＝3cm，CA+AP＝4+5﹣3＝6（cm），

∴t＝6÷2＝3（秒）；

当PB＝PC，

∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，

此时CA+AP＝4+2.5＝6.5（cm），

t＝6.5÷2＝（秒）；

综上可知，当4或或或或3或时点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形，故答案为4或或或或3或．