题目内容
【题目】下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图 1，线段 a 和线段 b．
求作：△ABC，使得 AB = AC，BC = a，BC 边上的中线为 b．
作法：如图 ，
① 作射线 BM，并在射线 BM 上截取 BC = a；
② 作线段 BC 的垂直平分线 PQ，PQ 交 BC 于 D；
③ 以 D 为圆心，b 为半径作弧，交 PQ 于 A；
④ 连接 AB 和 AC．
则△ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 BC = a，AD = b．
∵ PQ 为线段 BC 的垂直平分线，点 A 在 PQ 上，
∴ AB = AC（ ）（填依据）．
又∵线段 BC 的垂直平分线 PQ 交 BC 于 D，
∴ BD=CD．（ ）（填依据）．
∴ AD 为 BC 边上的中线，且 AD = b．
【答案】（1）见解析（2）垂直平分线上的点到线段两端距离相等；等腰三角形三线合一.
【解析】
（1）根据题意尺规作图即可；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可求解.
（1）如图：△ABC为所求；
（2）证明：由作图可知 BC = a，AD = b．
∵ PQ 为线段 BC 的垂直平分线，点 A 在 PQ 上，
∴ AB = AC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
又∵线段 BC 的垂直平分线 PQ 交 BC 于 D，
∴ BD=CD．（等腰三角形三线合一）
∴ AD 为 BC 边上的中线，且 AD = b．
故填：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；等腰三角形三线合一.
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