Question

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据切割线定理求出CA的长，然后在Rt△ACD中，用勾股定理求出AB即⊙O的半径长；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理，易求得CE的长；由切割线定理得CD²=CE•CF，由此可求出CF和EF的长；在△AFC中，已知底边CF的长，关键是求出CF边上的高；过A作AG⊥CF于G，通过相似三角形△AEG和△CEB得出的成比例线段可求出AG的长；由此可根据三角形的面积公式求得△AFC的面积．

解答：解：（1）四边形ABCD为矩形，AB=4；∴CD=4．
在Rt△ACD中，AC²=CD²+AD²；
∴（2+AD）²=4²+AD²；
解得AD=3．

（2）过A点作AG⊥EF于G；
∵BC=3，BE=AB-AE=4-3=1．
∴CE=

BC2+BE2

=

32+12

=

10

．
由CE•CF=CD²，得：
CF=

CD2

CE

=

42

10

=

8

5

10

．
又∵∠B=∠AGE=90°，∠BEC=∠GEA，
∴△BCE∽△GAE；
∴

BC

AG

=

CE

AE

，即

3

AG

=

10

3

．
∴AG=

9

10

10

．
∴S_△AFC=

1

2

CF•AG=

1

2

×

8

5

10

×

9

10

10

=

36

5

．

点评：本题主要考查的是切割线定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识．