Question

如图，已知正三角形ABC的边长AB是480毫米．一质点D从点B出发，沿BA方向，以每秒钟10毫米的速度向点A运动．
（1）建立合适的直角坐标系，用运动时间t（秒）表示点D的坐标；
（2）过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG，其中EF在BC边上，G在AC边上．在图中找出点D，使矩形DEFG是正方形（要求所表达的方式能体现出找点D的过程）；
（3）过点D、B、C作平行四边形，当t为何值时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积，并求此时点F的坐标．

Answer 1

分析：运用相似三角形及平行四边形的性质求解．

解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，作DE⊥x轴于E，

则t秒后，DB=10t
又△ABC是正三角形，故∠B=60°
在Rt△DEB中，DE=DB×sin∠B=10t×

3

2

=5

3

t，
BE=DB×cos∠B=10t×

1

2

=5t
即：D(5t，5

3

t)；

（2）①先画一个正方形，再利用位似图形找出点D，具体作法阅图

②利用正三角形与矩形是轴对称图形或利用相似三角形
的性质求得DG=480-10t，DE=5

3

t．然后由480-10t=5

3

t
求出t=

96

2+ 3

=96（2-

3

）（毫米）．所以当点D与点B的距离
等于10t=960（2-

3

）毫米时，矩形是正方形．

（3）如图所示：

当点F在第一象限时，这个平行四边形是CBDF；
当点F在第二象限时，这个平行四边形是BCDF“；
当点F在第三象限时，这个平行四边形是CDBF'．
但平行四边形BCDF“的面积、平行四边形CDBF'的面积
都与平行四边形CBDF的面积相等（等底等高）
平行四边形CBDF的底BC=480，相应的高是5

3

t，则面积是2400

3

t；三角形ADC的底AD=480-10t，相应的高是240

3

则面积是120

3

（480-10t）．
由2400

3

t=120

3

（480-10t），解得t=16
所以当t=16秒时，由点C、B、D、F组成的平
行四边形的面积等于三角形ADC的面积．
∴此时，点F的坐标是F（560，80

3

），F′（400，-80

3

）
F″（-400，80

3

）．

点评：本题考查对相似三角形的运用能力和平行四边形的性质掌握程度．