Question

7．如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且AB=AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，推出∠CDE=∠ABC，由∠EDF=∠ADB=∠ACB，以及AB=AC，推出∠ABC=∠ACB，即可推出∠EDF=∠CDE解决问题．
（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出DE的值．

解答 （1）证明：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠EDF=∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EDF=∠CDE，
∴DE平分∠CDF．

（2）解：∵∠ADB=∠ABC，∠DAB=∠BAE，
∴△ABD∽△AEB
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}$=$\frac{9}{2}$，
∴DE=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$（cm）．

点评 本题综合考查了角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．．