Question

14．如图，在四边形ABDE中，∠E=90°，AE∥BD，C为ED上一点，设△ABC三边分别为a、b、c，且方程（a+c）x²-2bx-a+c=0有两相等实根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若C为ED中点，求证：ED²=4AE•BD．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到△=（-2b）²-4（a+c）（a-c）=4（b²-a²+c²）=0，求得b²+c²=a²，于是得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠EAC=∠BCD，推出△ACE∽△BDC，得到比例式$\frac{AE}{CD}=\frac{CE}{BD}$，根据线段中点的定义得到CE=CD=$\frac{1}{2}$DE，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）方程（a+c）x²-2bx-a+c=0有两相等实根．
∴△=（-2b）²-4（a+c）（a-c）=4（b²-a²+c²）=0，
∴b²+c²=a²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵∠E=90°，AE∥BD，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
∴△ACE∽△BDC，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{CE}{BD}$，
∵C为ED中点，
∴CE=CD=$\frac{1}{2}$DE，
∴CD•CE=AE•BD，
∴ED²=4AE•BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．