Question

20．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}…+\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
②$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}…+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+\frac{1}{9×11}$=$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 （1）猜想得到结论，写出即可；
（2）利用得出的拆项法化简各式，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{5}{11}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）①$\frac{2014}{2015}$；②$\frac{n}{n+1}$；（3）$\frac{5}{11}$

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．