Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，连接AE，若BE=AC，BD=2

5

，DE+BC=10，则线段AE的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：计算题

分析：设DE=x，根据DE+BC=10，得到BC=10-x，由DE垂直于BC，AC垂直于BC，得到一对直角相等，再由公共角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形BDE与三角形BAC相似，由相似得比例表示出AC²，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出x的值，确定出EC与AC的长，利用勾股定理即可求出AE的长．

解答：解：设DE=x，根据DE+BC=10，得到BC=10-x，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∵BE=AC，
∴

DE

AC

=

BE

BC

=

AC

BC

，即AC²=DE•BC=x（10-x），
在Rt△BDE中，BD=2

5

，
根据勾股定理得：BD²=BE²+DE²=AC²+DE²，即20=x（10-x）+x²，
解得：x=2，
∴AC=BE=4，EC=BC-BE=4，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AE=

EC2+AC2

=4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．