题目内容
△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，AB=10，AC=6，AM平分∠BAC，且与⊙O相交于点M，过点M作直线DE，使DE∥BC．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求AM的长．
考点：切线的判定
专题：计算题
分析：（1）连接OM，交BC于N．根据角平分线的性质可得
=
，再根据垂径定理可得OM⊥BC，再根据平行线的性质即可得到直线DE与⊙O的位置关系；
（2）如图，过点B作BP⊥AC于点P．在直角△ABP中，BP=5
，AP=5．则PC=AC-AP=1．在直角△BPC中，由勾股定理得到BC=2
；然后由垂径定理和圆周角定理推知∠NBM=∠BAM=
∠BAC=30°，易求BM=
．如图，过点B作BQ⊥AC于点Q．通过解直角△ABQ知：AQ=5
，BQ=5；最后在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=
，故AM=AQ+MQ=
．
 |
| BM |
|
| CM |
（2）如图，过点B作BP⊥AC于点P．在直角△ABP中，BP=5
| 3 |
| 19 |
| 1 |
| 2 |
2
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| 3 |
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| 3 |
16
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| 3 |
解答：
解：（1）连接OM，交BC于N．
∵AM平分∠BAC，
∴
=
，
∴OM⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OM⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图，过点B作BP⊥AC于点P．
∵在直角△ABP中，∠APB=90°，∠BAC=60°，AB=10，
∴BP=AB•sin60°=5
，AP=
AB=5．
又 AC=6，
∴PC=AC-AP=1，
∴在直角△BPC中，由勾股定理得到：BC=
=2
．
由（1）知，OM⊥BC，则BN=
BC=
，
=
=
，
∴∠NBM=∠BAM=
∠BAC=30°，
∴BM=
=
．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q．
∴在直角△ABQ中，AQ=AB•sin30°=5
，BQ=
AB=5
∴在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=
=
，
∴AM=AQ+MQ=
．
解：（1）连接OM，交BC于N．∵AM平分∠BAC，
∴
|
| BM |
|
| CM |
∴OM⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OM⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图，过点B作BP⊥AC于点P．
∵在直角△ABP中，∠APB=90°，∠BAC=60°，AB=10，
∴BP=AB•sin60°=5
| 3 |
| 1 |
| 2 |
又 AC=6，
∴PC=AC-AP=1，
∴在直角△BPC中，由勾股定理得到：BC=
| BP2+PC2 |
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由（1）知，OM⊥BC，则BN=
| 1 |
| 2 |
| 19 |
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| BM |
|
| CM |
| 1 |
| 2 |
|
| BC |
∴∠NBM=∠BAM=
| 1 |
| 2 |
∴BM=
| BN |
| cos30° |
2
| ||
| 3 |
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q．
∴在直角△ABQ中，AQ=AB•sin30°=5
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=
| BM2-BQ2 |
| ||
| 3 |
∴AM=AQ+MQ=
16
| ||
| 3 |
点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
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