Question

14．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，点E是AB边上一点．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若BF⊥CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG．
（3）若将CE移至（如图2）位置，此时，BH⊥CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，找出此时图中与AE相等的线段．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
（2）先证出∠ACE=∠CBG，再由ASA证明△ACE≌△CBG，得出对应边相等即可；
（3）先证出∠CEA=∠CMB，再由AAS证明△ACE≌△BCM，得出对应边相等即可．

解答 （1）证明：∵AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，
∴CD⊥AB（三线合一）；
（2）证明：∵AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACE=90°-∠BCF，
∵BF⊥CE，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBG=90°-∠BCF，
∴∠ACE=∠CBG，
在△ACE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG=45°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（3）解：CM=AE；理由：
∵CD⊥AB，BH⊥CE，
∴∠CDE=∠CHM=90°，
∴∠DCE+∠CEA=90°，∠DCE+∠CMB=90°，
∴∠CEA=∠CMB，
在△ACE和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCM=45°}&{\;}\\{∠CEA=∠CMB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCM（AAS），
∴CM=AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．