Question

17．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于M，弦MN∥AC且MN交BC于点E，ME=1，BM=2，BE=$\sqrt{3}$．
（1）求证AC是⊙O的切线；
（2）求弧NC的长度．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理证明∠BEM=90°，根据平行线的性质得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）根据正弦的定义和垂径定理求出∠CON=60°，利用弧长公式计算即可．

解答 （1）证明：∵ME=1，BM=2，BE=$\sqrt{3}$，
∴ME²+BE²=1+3=4，BM²=4，
∴ME²+BE²=BM²，
∴∠BEM=90°，又MN∥AC，
∴∠ACB=∠BEM=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）连接ON，
∵∠BEM=90°，ME=1，BM=2，
∴∠B=30°，$\widehat{MC}$=$\widehat{NC}$，NE=ME=1，
∴∠CON=60°，
ON=$\frac{EN}{sin∠CON}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故弧NC的长度为：$\frac{60×π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$．

点评 本题考查的是切线的判定、垂径定理、弧长的计算、勾股定理的逆定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、弧长公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．