Question

在△ABC中，∠A=45°，AB=7，AC=4

2

，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点．求△DEF的最小周长．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：过B点作BM⊥AC于M，根据勾股定理求得AM=BM=

7 2

2

，进而求得CM=AC-AM=

2

2

，然后根据勾股定理求得BC=5，因为D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点时，E点关于AB的对称点E′，关于AC的对称点E″和D、F在一条直线上，△DEF有最小周长，根据三角形的中位线定理即可求得DE、EF、FD的值，进而求得△DEF的最小周长．

解答：解：过B点作BM⊥AC于M，
∵∠A=45°，
∴AM=BM=

7 2

2

，
∵AC=4

2

，
∴CM=AC-AM=

2

2

，
∴BC=

BM2+CM2

=5，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点时，E点关于AB的对称点E′，关于AC的对称点E″和D、F在一条直线上，△DEF有最小周长，
∴△DEF的最小周长=DE+EF+FD=

1

2

（AB+BC+CA）=

1

2

（7+5+4

2

）=6+2

2

．

点评：本题考查了勾股定理的应用，三角形的中位线定理，轴对称的性质和两点之间线段最短的性质等，应用勾股定理求得BC的长是本题的关键．