Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．若AD，BD是方程x²-10x+16=0的两个根（AD＞BD）．求：
（1）CD的长；
（2）$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先解方程x²-10x+16=0，得知AD、BD的值，在证明Rt△ADC∽Rt△CDB，由其性质的CD 的长．（2）Rt△ABC∽Rt△CDB，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．

解答 解：（1）解方程 x²-10x+16=0，
                        得：x₁=2，x₂=8
∴AD=8，BD=2．
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠CDB=90°．
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB，
∴∠A=∠DCB．
     在Rt△ADC与Rt△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CDB=90°}\\{∠A=∠DCB}\end{array}\right.$
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，即：CD²=AD•BD=8×2=16
       CD=4
       即：CD的长为4
（2）与（1）同法可证Rt△ACB∽Rt△CDB
则   $\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=$\frac{B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{{BD}^{2}}{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{1}{5}$
  即：$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质、解一元一次方程，解题的关键是巧用相似的性质．