Question

15．如图，在边长为2的等边△ABC中，E为AB的中点，EF∥BC，交AC于点F，点D为CB延长线上一点，且DE=EC．
（1）求四边形EFCB的周长；
（2）猜想线段AE与DB的大小关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据E为AB的中点，EF∥BC，可得EF是△ABC的中位线，所以点F为AC的中点；然后求出EF的长度，再加上FC、CB、BE的长度，求出四边形EFCB的周长是多少即可；
（2）猜想线段AE=DB，首先根据等边三角形的性质以及中位线的性质，判断出∠ECF=∠FEC，∠FEC=∠ECB，所以∠ECB=∠ECF=30°，再根据DE=EC，可得∠D=30°，然后判断出∠DEB=30°，可得BE=DB，再根据AE=BE，判断出AE=DB即可．

解答 （1）解：∵E为AB的中点，EF∥BC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$；
∴四边形EFCB的周长是：
EF+FC+CB+BE=1+2÷2+2+2÷2=5．
答：四边形EFCB的周长是5．

（2）猜想线段AE=DB，
证明：∵EF=CF，
∴∠ECF=∠FEC，∠FEC=∠ECB，
∴∠ECB=∠ECF=60÷2=30°；
∵DE=EC，
∴∠D=30°，
∴∠DEB=60-30=30°，∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴BE=DB，AE=BE，
∴AE=DB．

点评 （1）此题主要考查了等边三角形的性质，以及中位线的判定和性质，要熟练掌握；
（2）此题还考查了图形的周长的含义和求法，要熟练掌握．