Question

2．如图，E、F分别在△ABC的边AC、AB上，EF∥BC，BE与CF相交于M，AM交BC于D，交EF于N，求证：BD=DC．

Answer 1

分析 根据EF∥BC，于是得到△AEN∽△ABD，△AFN∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{EN}{BD}=\frac{AN}{AD}$，$\frac{NF}{CD}=\frac{AN}{AD}$，等量代换得到$\frac{EN}{BD}=\frac{FN}{CD}$，①同理得到$\frac{EN}{CD}=\frac{NF}{BD}$，②①÷②得，即可得到结论．

解答 证明：∵EF∥BC，
∴△AEN∽△ABD，△AFN∽△ACD，
∴$\frac{EN}{BD}=\frac{AN}{AD}$，$\frac{NF}{CD}=\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{EN}{BD}=\frac{FN}{CD}$，①
∵EF∥BC，
∴△ENM∽△CDM，△NFM∽△BDM，
∴$\frac{EN}{CD}=\frac{NM}{DM}$，$\frac{NF}{BD}=\frac{MN}{MD}$，
∴$\frac{EN}{CD}=\frac{NF}{BD}$，②
①÷②得，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴CD²=BD²，
∴CD=BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．