Question

12．如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线，
（2）若AB=8，sin∠E=$\frac{2}{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先得出∠OCA+∠CAD=90°，进而求出∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案．
（2）作CF⊥AE于F，根据角平分线的性质和三角函数求得AE=$\frac{20}{3}$，DE=$\frac{16}{3}$，进一步求得CF=CD=2，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可求得．

解答 （1）证明：连接OA，
∵OE垂直于弦AB，
∴∠OCA+∠CAD=90°，
∵CO=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴OA⊥AE，
即直线AE是⊙O的切线．
（2）解：作CF⊥AE于F，
∵∠EAC=∠CAB，
∴CF=CD，
∵AB=8，
∴AD=4，
∵sin∠E=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{CF}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{20}{3}$，DE=$\frac{16}{3}$，
∴CF=2，
∴CD=2，
设⊙O的半径r，
在RT△AOD中，OA²=OD²+AD²，即r²=（r-2）²+4²，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了切线的判定，角平分线的性质，三角函数的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．