Question

4．己知x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2x₁-3）（2x₂-3）
（2）x${\;}_{1}^{3}$x₂+x₁x${\;}_{2}^{3}$．

Answer 1

分析 由根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$、x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）将（2x₁-3）（2x₂-3）变形为4x₁•x₂-6（x₁+x₂）+9，代入数据即可得出结论；
（2）将x${\;}_{1}^{3}$x₂+x₁x${\;}_{2}^{3}$变形为x₁•x₂•[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂]，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）（2x₁-3）（2x₂-3）=4x₁•x₂-6x₁-6x₂+9=4x₁•x₂-6（x₁+x₂）+9=4×（-$\frac{1}{2}$）-6×（-$\frac{3}{2}$）+9=16；
（2）x${\;}_{1}^{3}$x₂+x₁x${\;}_{2}^{3}$=x₁•x₂•（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）=x₁•x₂•[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂]=-$\frac{1}{2}$×[$（-\frac{3}{2}）^{2}$-2×（-$\frac{1}{2}$）]=-$\frac{13}{8}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：（1）将原式变形为4x₁•x₂-6（x₁+x₂）+9；（2）将原式变形为x₁•x₂•[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂]．