Question

19．如图所示，直线l为等边三角形△ABC经过点A的一条对称轴，直线l交BC于点M，动点D在直线l上运动，以CD为一边在CD的下方作等边三角形△CDE，连接BE

（1）填空∠CAM=30°．
（2）当点D在线段AM上运动时（点D与点A、M不重合），试说明△ACD≌△BCE；
（3）当点D在线段AM的延长线上运动时，AD=BE吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形过一顶点的对称轴平分该角，可得结果；
（2）根据等边三角形的性质可利用SAS证明两三角形全等；
（3）同理证明△ACD≌△BCE可得结果．

解答 解：（1）∵直线l为等边三角形△ABC经过点A的一条对称轴，
∴AM平分∠BAC，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
故答案为：30°；
（2）如图1，D在线段AM上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∴DC=EC，∠DCE=60°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）当点D在线段AM的延长线上运动时，AD=BE，理由是：
如图2，D在线段AM的延长线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∴DC=EC，∠DCE=60°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴AD=BE．

点评 本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定，知道等边三角形是轴对称图形，并熟练掌握三角形全等的判定方法．