Question

12．如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D
求证：（1）OC=OD；
            （2）OE是CD的垂直平分线；
            （3）∠ECD=∠EDC．

Answer 1

分析 （1）由E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质，可证得ED=EC，∠OED=∠OEC，继而可证得OC=OD；
（2）由OC=OD，ED=EC，可得点O与点D都在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，证得结论；
（3）由ED=EC，可证得∠ECD=∠EDC．

解答 证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，∠OED=∠OEC，
∴OC=OD；

（2）∵OC=OD，ED=EC，
∴点O与点D都在CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线；

（3）连接CD，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC．

点评 此题考查了等腰三角形的性质与判定、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意掌握角平分线的定理的应用是解此题的关键．