Question

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．
（1）如图2，画出矩形ABCD中的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要说明）．
（2）对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．

Answer 1

考点：作图—相似变换

专题：

分析：（1）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；
（2）根据（1）的作法，若矩形的宽大于长的一半，则圆与另一边没有交点，也就不存在全相似点．

解答：解：（1）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，
；

（2）由（1）可知，当矩形的长AB＜2AD时，圆与AB没有交点，所以AB边上不存在这样的全相似点E．
（答案不惟一，若学生画图说明也可．）

点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出∠CED=90°，从而确定作以CD为直径的圆是解题的关键．