在△ABC中.AB=AC.分别以AB和AC为斜边.向△ABC的外侧作等腰直角三角形.M是BC边中点中点.连接MD和ME(1)如图1所示.若AB=AC.则MD和ME的数量关系是 (2)如图2所示.若AB≠AC其他条件不变.则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程,(3)在任意△ABC中.仍分别以AB和AC为斜边.向△ABC的内侧作等腰直角三角形.M是BC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME
（1）如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是

（2）如图2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED的形状．

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,等腰直角三角形,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；
（2）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；
（3）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；

解答：

（1）MD=ME．
解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中，

∠ADB=∠AEC

∠ABD=∠ACE

AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
在△DBM和△ECM中，

BD=CE

∠DBM=∠ECM

BM=CM

，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．

（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形
ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
∴MF=

AC，MG=

AB，MF∥AC，MG∥AB．
∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．
∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．
∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
∴EG=

AC，DF=

AB．
∴MF=EG，DF=MG．
在△DFM与△MGE中，

MF=EG

∠DFM=∠MGE

DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS）．
∴DM=ME．
∠FMD=∠GEM
∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME
∵EG⊥AC
∴∠EGC=90°
∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°
∴∠DME=90°
∴DM⊥EM．

（3）如图所示：
△MDE是等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．