Question

如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：数形结合

分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．

解答：解：设OC=a，
∵点D在y=

k

x

上，
∴CD=

k

a

，
∵△OCD∽△ACO，
∴

OC

CD

=

AC

OC

，
∴AC=

OC2

CD

=

a3

k

，
∴点A（a，

a3

k

），
∵点B是OA的中点，
∴点B的坐标为（

a

2

，

a3

2k

），
∵点B在反比例函数图象上，
∴

k

a 2

=

a3

2k

，
∴

a4

2

=2k²，
∴a⁴=4k²，
解得，a²=2k，
∴点B的坐标为（

a

2

，a），
设直线OA的解析式为y=mx，
则m•

a

2

=a，
解得m=2，
所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．

点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．