题目内容

如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
考点：二次函数综合题,一次函数的应用,平行四边形的性质,相似三角形的性质
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，-a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
解答：解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），
∴
2=c
-4=-9+3b+c

解得：
b=1
c=2
，
∴y=-x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
b=2
-4=3k+b
，
解得：
k=-2
b=2
，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；

（2）存在．
如图1，设M（a，-a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=-a2+a+2，ON=a．
∵y=-2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MNO时，
∴
BO
MN
=
OC
ON
，
∴
2
-a2+a+2
=
1
a
，
解得：a1=1，a2=-2（舍去）
∴M（1，2）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，
BO
ON
=
OC
MN
，
∴
2
a
=
1
-a2+a+2
，
∴a=
1+
33
4
或
1-
33
4
（舍去），
∴M（
1+
33
4
，
1+
33
8
）．
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（
1+
33
4
，
1+
33
8
）；

（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b．
∴2=-b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
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，该逆命题是
 
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CF
EF
=
5
6
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k
x
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