Question

16．如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA，垂足为H，连接AD．
（1）若CD=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{3}$，求⊙O的半径长；
（2）设OA=r，AD=m，AH=n，求证：m²=2rn．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出AH，再根据勾股定理列出关于OA的方程，解方程即可；
（2）作直径AG，连接DG，根据射影定理证明．

解答 解：（1）连接OD，
∵CD⊥OA，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{2}$，又AD=$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=1，
则OH=OA-1，
∴OD²=OH²+DH²，即OA²=（OA-1）²+2，
解得，OA=$\frac{3}{2}$；
（2）证明：作直径AG，连接DG，
∴∠ADG=90°，又CD⊥OA，
∴AD²=AH•AG，
即m²=2rn．

点评 本题考查的是垂径定理、勾股定理和射影定理的综合运用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键，解答时注意射影定理成立的条件．