Question

11．某乡镇准备在相距3千米的A、B两个工厂间修建一条笔直的公路，在工厂A北偏东60°方向，工厂北偏西45°方向有一点P，以P点为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 作垂线段PC，计算PC的长与1.2千米作比较，若PC＞1.2时，居民不需要搬迁；若PC＜1.2时，居民需要搬迁；先设BC=x，则AC=3-x，根据30度的余弦列式求出PC的长，则可以得出结论．

解答 解：过P作PC⊥AB于C，设BC=x，则AC=3-x，
∵PC∥BF，
∴∠CPB=∠PBF=45°，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴PC=BC=x，
∵∠EAB=90°，∠EAP=60°，
∴∠PAC=90°-60°=30°，
tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$，
∴tan30°=$\frac{x}{3-x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}$≈$\frac{3×（1.7-1）}{2}$=1.05＜1.2，
答：修筑公路时，这个村庄有一些居民需要搬迁．

点评 本题是解直角三角形的应用，主要考查了方向角问题，正确辨别方向角是本题的基础，一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数；其次是利用三角函数列式求边的长或角的度数．