Question

3．如图，以边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x²+bx+c经过点B与直线AB只有一个个公共点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求抛物线y=x²+bx+c的解析式；
（3）若点P为（2）中抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，问是否存在这样的点P，使△PMC成为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）过点D的直线y=mx+1与抛物线y=x²+bx+c交点的横坐标分别是e和f，其中e＜-$\frac{1}{2}$，f＞3，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出直线AB即可；
（2）根据一个公共点，联立直线与抛物线，根据△=0，即可求解；
（3）设出点P坐标，表示两条直角边，根据等腰直角三角形列出方程即可；
（4）求出当横坐标为-$\frac{1}{2}$，和3时的交点坐标，根据题意分析列出不等式求解即可．

解答 解：如图1

（1）由正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，可求：AC=BD=2，0A=OB=OC=OD=1，
∴A（-1，0），B（0，-1），C（1，0），D（0，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+p，把A（-1，0），B（0，-1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+p}\\{-1=p}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{p=-1}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为：y=-x-1；
（2）把B（0，1）代入抛物线y=x²+bx+c得，c=-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}+bx-1}\end{array}\right.$，
得：x²+（b+1）x=0，
当△=（b+1）²=0时，
解得：b=-1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-x-1；
（3）如图2

设点P（m，m²-m-1），
由题意可得：|m²-m-1|=|m-1|
所以有：m²-m-1=m-1，或m²-m-1=-m+1，
解得：m=2，或m=0，或m=$\sqrt{2}$或m=$-\sqrt{2}$，
此时：m²-m-1的对应的值为：1，-1，$-\sqrt{2}+1$，$\sqrt{2}+1$，
∴点P的坐标为：（2，1），（0，-1），（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}+1$），（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$），
（4）由过点D的直线y=mx+1与抛物线y=x²-x-1点的横坐标分别是e和f，
当x=3时，y=x²-x-1=5，当x=-$\frac{1}{2}$时，y=x²-x-1=-$\frac{1}{4}$，
由e＜-$\frac{1}{2}$，f＞3，得：$-\frac{1}{2}$m+1＞-$\frac{1}{4}$，3m+1＞5，
解得：$\frac{4}{3}＜m＜\frac{5}{2}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，熟悉正方形的性质，会运用待定系数法求解析式，知道等腰直角三角形的性质并会运用列方程求解是解题的关键．