Question

如图．AB为⊙O的直径，CP为⊙O的切线与BA的延长线交于点P．
（1）求证：∠ACP=∠B；
（2）试证明：PC²=PA•PB．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，由切线的性质可知：OC⊥CP，所以∠OCP=90°，所以∠ACP+∠OCA=90°，再利用圆的半径相等和圆周角定理即可证明：∠ACP=∠B；
（2）由（1）可知：∠ACP=∠B，再由条件∠P=∠P，所以可证明：△ACP∽△CBP，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：PC²=PA•PB．

解答：证明：（1）连接OC，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥CP，
∴∠OCP=90°，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC+∠ACP=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠OAC=90°，
∴∠ACP=∠B；
（2）∵∠ACP=∠B，∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴PC：PB=AP：PC，
∴PC²=PA•PB．

点评：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是连接OC利用切线的性质构造直角三角形，是中考常见题型．