Question

观察下列等式
①

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

2

，②

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

3

，③

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

4

，…，
（1）请猜想第10个等式为

 

④；第n个等式为

 

⑤；
（2）试利用你所发现的规律计算

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 992 + 1 1002

；
（3）请证明⑤式的正确性．

Answer 1

考点：算术平方根

专题：规律型

分析：（1）观察等式中的规律，可得第10个等式，第n个等式的答案；
（2）根据规律进行加减运算，可得答案；
（3）根据规律，凑成完全平方公式，可得平方的形式，根据二次根式的性质，可得答案．

解答：（1）解：

1+ 1 102 + 1 112

=1+

1

10

-

1

11

，

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，
（2）解：原式=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+1+

1

4

-

1

5

+…+1+

1

98

-

1

99

+1+

1

99

-

1

100

=1+1-

1

100

=99

99

100

；

（3）证明：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

1+ 1 n2 - 2 n(n+1) + 1 (n+1)2 + 2 n(n+1)

=

1+ 2 n(n+1) +( 1 n - 1 n+1 )2

=

1+ 2 n(n+1) +[ 1 n(n+1) ]2

=

(1+ 1 n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

．

点评：本题考查了算术平方根，发现规律

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，凑成公式的形式是解题关键．