Question

16．当x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$时，求$\frac{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}$+$\frac{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}$的值．（结果用最简二次根式表示）

Answer 1

分析 首先将x的值分母有理化，再将原式化简，进而把已知数据求出答案．

解答 解：∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1，
∴$\frac{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}$+$\frac{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}$
=$\frac{（x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}）^{2}}{（x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}）（x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}）}$-$\frac{（x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}）^{2}}{（x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}）（x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}）}$
=$\frac{4{x}^{2}+6x+2}{x+1}$
=$\frac{4（\sqrt{2}+1）^{2}+6（\sqrt{2}+1）+2}{\sqrt{2}+2}$
=$\frac{4（3+2\sqrt{2}）+6\sqrt{2}+6+2}{\sqrt{2}+2}$
=6+4$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简与求值，正确分母有理化是解题关键．