Question

如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

                                                                              

Answer 1

 (1) 证明:

∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG

∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°∴ ∠BAF = ∠ADE  

∴ △ABF ≌ △DAE        ∴ BF = AE ,  AF = DE   

∴ DE－BF = AF－AE = EF 

（2）EF = 2FG       理由如下：∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG     

∴  ∴  AF = 2BF , BF = 2 FG   

由(1)知,  AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG    

(3) 如图  DE + BF = EF