Question

20．如图所示，某船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在点A测得岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛C在北偏东30方向上，已知该岛周围18海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CM⊥AB于M，设CM=x，根据题意和特殊角的三角函数值求出AM和BM的值，从而求出x的值，再与18海里进行比较即可得出答案．
（2）根据（1）求出CM的值，再与18进行比较，即可得出答案．

解答 解：（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM=x，
∵∠CAM=30°∠CBM=60°，
∴AM=$\sqrt{3}$x，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由题意知：$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{1}{2}$×40，即$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=20，
解得：x=10$\sqrt{3}$（海里），
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×10$\sqrt{3}$=20＞18，
∴点B在暗礁区域之外；                                             

（2）由（1）知：CM=x=10$\sqrt{3}$≈17.32＜18，
故继续向东航行有触礁的危险．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、方向角问题，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．