Question

如图，等腰△ABC外一点D，连接DA，DB，DC，且∠ADC=30°．BD=15，AD=12，则CD的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，则可把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，连接DE，如图，根据旋转的性质得AE=AD=12，BE=CD，∠EAD=60°，∠AEB=∠ADC=30°，于是可判断△AED为等边三角形，所以DE=AD=12，∠AED=60°，则∠AED=∠AEB+∠AED=90°，然后在Rt△BED中，根据勾股定理可计算出BE=9，于是有CD=9．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，连接DE，如图，
∴AE=AD=12，BE=CD，∠EAD=60°，∠AEB=∠ADC=30°，
∴△AED为等边三角形，
∴DE=AD=12，∠AED=60°，
∴∠AED=∠AEB+∠AED=90°，
在Rt△BED中，BD=15，DE=12，
∴BE=

BD2-DE2

=9，
∴CD=9．
故答案为9．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理和等边直角三角形的性质．