Question

15．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设上述抛物线的对称轴l与x轴交于点D，过点C作CE⊥l于E，P为线段DE上一点，Q（m，0）为x轴负半轴上一点，以P、Q、D为顶点的三角形与△CPE相似；
①当满足条件的P点有且只有一个时，求m的取值范围；
②若满足条件的P点有且只有两个，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入求得a的值可得到抛物线的解析式；
（2）先求得点C的坐标，从而得到ED的长，然后再求得抛物线的对称轴，从而得到CE的长，然后设PE=x，则PD=3-x，然后分为△CEP∽△QDP和△CEP∽△PDQ两种情况列出比例式，从而得到m与x的函数关系，然后依据函数关系可确定出m的取值范围，①依据符合条件的点P只有一个，然后找出仅能够使得其中一个三角形的相似时，m的范围即可；②找出能够使得两种情况都成立时，m的范围即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴CE=1．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴点C（0，3）．
∴ED=3．
设EP=x，则（0＜x＜3）．
当△CEP∽△QDP时，$\frac{CE}{EP}=\frac{QD}{PD}$，即$\frac{1}{x}=\frac{1-m}{3-x}$，整理得：m=2-$\frac{3}{x}$，
∴m随x的增大而增大，
∴m＜1．
∵Q在x轴的负半轴上，
∴m＜0．
当△CEP∽△PDQ时，$\frac{CE}{EP}=\frac{PD}{DQ}$，即$\frac{1}{x}=\frac{3-x}{1-m}$，整理得：m=x²-3x+1，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，m有最小值，m的最小值=-$\frac{5}{4}$．
又∵Q在x轴的负半轴上，
∴m＜0．
∴-$\frac{5}{4}$≤m＜0．
①∵当m＜-$\frac{5}{4}$时，有且只有△CEP∽△QDP一种情况，
∴当m＜-$\frac{5}{4}$时，满足条件的点P有且只有一个．
②当-$\frac{5}{4}$≤m＜0时，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ两种情况，
∴当-$\frac{5}{4}$≤m＜0时，满足条件的P点有且只有两个．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，相似三角形的性质，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，二次函数的性质、反比例函数的性质，求得m与x的函数关系，利用函数关系式确定出m的范围是解题的关键．