Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠BAD=

4

3

，AB=10，∠CAD=30°，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：先在Rt△ABD中，由tan∠BAD=

BD

AD

=

4

3

，可设BD=4k，则AD=3k，由勾股定理求出AB=

BD2+AD2

=5k，则5k=10，k=2，求出BD=8，AD=6．然后解Rt△ACD，得到DC=AD•tan∠CAD=2

3

，那么BC=BD+DC=8+2

3

，再根据△ABC的面积=

1

2

BC•AD，将数值代入计算即可求解．

解答： 解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan∠BAD=

BD

AD

=

4

3

，
∴可设BD=4k，则AD=3k，
由勾股定理，得AB=

BD2+AD2

=5k，
∵AB=10，
∴5k=10，k=2，
∴BD=8，AD=6．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴DC=AD•tan∠CAD=6×

3

3

=2

3

，
∴BC=BD+DC=8+2

3

，
∴△ABC的面积=

1

2

BC•AD=

1

2

×（8+2

3

）×6=24+6

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的面积，难度中等，求出AD与BC的值是解题的关键．