Question

8．如图：已知△ABC中，∠BAD=∠C，AB=4，BD=2，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow m$．
（1）试用$\overrightarrow m$表示$\overrightarrow{DC}$；
（2）过点D作DE∥AB交AC于点E，若S_△ABD=3，求S_△CDE．

Answer 1

分析 （1）由△ABC中，∠BAD=∠C，∠B是公共角，即可判定△BAD∽△BCA，又由AB=4，BD=2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长，继而求得DC=3BD，即可用$\overrightarrow m$表示$\overrightarrow{DC}$；
（2）由S_△ABD=3，可求得△ABC的面积，又由DE∥AB，可判定△CDE∽△CBA，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
∵AB=4，BD=2，
∴$\frac{4}{BC}=\frac{2}{4}$，
∴BC=8，
∴CD=BC-BD=6，
∴$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{m}$；

（2）∵S_△ABD=3，
∴S_△ABC=4S_△ABD=12，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴S_△CDE：S_△ABC=（$\frac{DC}{BC}$）²=$\frac{9}{16}$，
∴S_△CDE=$\frac{9}{16}$×12=$\frac{27}{4}$．

点评 此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比．