Question

8．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线MN分别交AB、CD于点M、N，连结AN，CM．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形：
（2）试添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，（写出你所添加的条件，不要求证明）

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥DC，证出内错角相等∠MAO=∠NCO，由ASA证明△AOM≌△COM，得出对应边相等AM=CN，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠MAO=∠NCO，
∵点O是对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOM和△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAO=∠NCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOM=∠CON}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△COM（ASA），
∴AM=CN，
又AM∥CN．
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：添加条件：MN⊥AC；理由如下：
∵四边形AMCN是平行四边形，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．