Question

9．如图，已知在等边△ABC中，AB=AC=BC=8，点D、E分别是边AC、AB上两点，且AE=CD，BD交CE于F，连接AF，则AF的最小值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由△CAE≌△BCD，推出∠ACE=∠CBD，由∠DFC=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=60°，推出∠BFC=120°=定值，推出动点F在以O为圆心，OC为半径的圆弧上，此时∠BOC=120°，连接AO，交BC于G，交⊙O于F′，则易知OB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，AO=2OB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，当点F与点F′重合时，AF的值最小，由此即可解决问题．

解答 解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAE=∠BCD=60°，
在△CAE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠ACE=∠CBD，
∵∠DFC=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=60°，
∴∠BFC=120°=定值，
∴动点F在以O为圆心，OC为半径的圆弧上，此时∠BOC=120°，连接AO，交BC于G，交⊙O于F′，
则易知OB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，AO=2OB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，当点F与点F′重合时，AF的值最小，最小值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是正确探究动点F的运动轨迹，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．